Геометрические знаки и символы таблица. Обозначения и символика

Каждому из нас ещё со школьной скамьи (а точнее с 1-го класса начальной школы) должны быть знакомы такие простые математические символы, как знак больше и знак меньше , а также знак равно.

Однако, если с последним что-то напутать достаточно сложно, то о том, как и в какую сторону пишутся знаки больше и меньше (знак менее и знак более , как ещё их иногда называют) многие сразу после этой же школьной скамьи и забывают, т.к. они довольно редко используются нами в повседневной жизни.

Но практически каждому рано или поздно всё равно приходится столкнуться с ними, и "вспомнить" в какую сторону пишется нужный им символ получается лишь обратившись за помощью к любимой поисковой системе. Так почему бы не ответить развернуто на этот вопрос, заодно подсказав посетителям нашего сайта как запомнить правильное написание этих знаков на будущее?

Именно о том, как правильно пишется знак больше и знак меньше мы и хотим напомнить вам в этой небольшой заметке. Также будет не лишним рассказать и том, как набрать на клавиатуре знаки больше или равно и меньше или равно , т.к. этот вопрос тоже довольно часто вызывает затруднения у пользователей, сталкивающихся с такой задачей очень редко.

Перейдем сразу к делу. Если вам не очень интересно запоминать всё это на будущее и проще в следующий раз снова "погуглить", а сейчас просто нужен ответ на вопрос "в какую сторону писать знак", тогда для вас мы приготовили краткий ответ - знаки больше и меньше пишутся так, как показано на изображении ниже.

А теперь расскажем немного подробнее о том, как это понять и запомнить на будущее.

В общем и целом логика понимания очень проста - какой стороной (большей или меньшей) знак по направлению письма смотрит в левую сторону - такой и знак. Соответственно, знак больше влево смотрит широкой стороной - большей.

Пример использования знака больше:

• 50>10 - число 50 больше числа 10;
• посещаемость студента в этом семестре составила >90% занятий.

Как писать знак меньше, пожалуй, повторно объяснять уже не стоит. Совершенно аналогично знаку больше. Если знак смотрит влево узкой стороной - меньшей, то перед вами знак меньше.
Пример использования знака меньше:

• 100<500 - число 100 меньше числа пятьсот;
• на заседание явилось <50% депутатов.

Как видите, все довольно логично и просто, так что теперь вопросов о том, в какую сторону писать знак больше и знак меньше в будущем у вас возникать не должно.

Знак больше или равно/меньше или равно

Если вы уже вспомнили, как пишется необходимый вам знак, то дописать к нему одну черточку снизу вам не составит труда, таким образом вы получите знак "меньше или равно" или знак "больше или равно" .

Однако относительно этих знаков у некоторых возникает другой вопрос - как набрать такой значок на клавиатуре компьютера? В результате большинство просто ставят два знака подряд, к примеру, "больше или равно" обозначая как ">=" , что, в принципе, часто вполне допустимо, но можно сделать красивее и правильнее.

На самом деле для того, чтобы напечатать эти знаки, существуют специальные символы, которые можно ввести на любой клавиатуре. Согласитесь, знаки "≤" и "≥" выглядят значительно лучше.

Знак больше или равно на клавиатуре

Для того, чтобы написать "больше или равно" на клавиатуре одним знаком даже не нужно лезть в таблицу специальных символов - просто поставьте знак больше с зажатой клавишей "alt" . Таким образом сочетание клавиш (вводится в английской раскладке) будет следующим.

Или же вы можете просто скопировать значок из этой статьи, если вам нужно воспользоваться им один раз. Вот он, пожалуйста.

≥

Знак меньше или равно на клавиатуре

Как вы наверное уже смогли догадаться сами, написать "меньше или равно" на клавиатуре вы можете по аналогии со знаком больше - просто поставьте знак меньше с зажатой клавишей "alt" . Сочетание клавиш, которое нужно вводить в английской раскладке, будет следующим.

Или просто скопируйте его с этой страницы, если вам так будет проще, вот он.

≤

Как видите, правило написания знаков больше и меньше довольно просто запомнить, а для того чтобы набрать значки больше или равно и меньше или равно на клавиатуре достаточно просто нажать дополнительную клавишу - всё просто.

Когда люди долгое время взаимодействуют в рамках определенной сферы деятельности, они начинают искать способ оптимизировать процесс коммуникации. Система математических знаков и символов представляет собой искусственный язык, который был разработан, чтобы уменьшить объем графически передаваемой информации и при этом полностью сохранить заложенный в сообщение смысл.

Любой язык требует изучения, и язык математики в этом плане - не исключение. Чтобы понимать значение формул, уравнений и графиков, требуется заранее владеть определенной информацией, разбираться в терминах, системе обозначений и т. д. При отсутствии такого знания текст будет восприниматься как написанный на незнакомом иностранном языке.

В соответствии с запросами общества графические символы для более простых математических операций (например, обозначение сложения и вычитания) были выработаны раньше, чем для сложных понятий наподобие интеграла или дифференциала. Чем сложнее понятие, тем более сложным знаком оно обычно обозначается.

Модели образования графических обозначений

На ранних этапах развития цивилизации люди связывали простейшие математические операции с привычными для них понятиями на основе ассоциаций. Например, в Древнем Египте сложение и вычитание обозначались рисунком идущих ног: направленные по направлению чтения строки они обозначали «плюс», а в обратную сторону - «минус».

Цифры, пожалуй, во всех культурах изначально обозначались соответствующим количеством черточек. Позже для записи стали использоваться условные обозначения - это экономило время, а также место на материальных носителях. Часто в качестве символов использовались буквы: такая стратегия получила распространение в греческом, латинском и многих других языках мира.

История возникновения математических символов и знаков знает два наиболее продуктивных способа образования графических элементов.

Преобразование словесного представления

Изначально любое математическое понятие выражается некоторым словом или словосочетанием и не имеет собственного графического представления (помимо лексического). Однако выполнение расчетов и написание формул словами - процедура длительная и занимающая неоправданно много места на материальном носителе.

Распространенный способ создания математических символов - трансформация лексического представления понятия в графический элемент. Иначе говоря, слово, обозначающее понятие, с течением времени сокращается или преобразуется каким-либо другим способом.

Например, основной гипотезой происхождения знака «плюс» является его сокращение от латинского et , аналогом которого в русском языке является союз «и». Постепенно в скорописи первая буква перестала писаться, а t сократилась до креста.

Другой пример - знак «икс», обозначающий неизвестное, который изначально представлял собой сокращение от арабского слова «нечто». Сходным образом произошли знаки для обозначения квадратного корня, процента, интеграла, логарифма и др. В таблице математических символов и знаков можно встретить более десятка графических элементов, появившихся таким образом.

Назначение произвольного символа

Второй распространенный вариант образования математических знаков и символов - назначение символа произвольным образом. В этом случае слово и графическое обозначение между собой не связаны - знак обычно утверждается в результате рекомендации одного из членов научного сообщества.

Например, знаки умножения, деления, равенства были предложены математиками Уильямом Отредом, Иоганном Раном и Робертом Рекордом. В некоторых случаях несколько математических знаков могли быть введены в науку одним ученым. В частности, Готфрид Вильгельм Лейбниц предложил целый ряд символов, в том числе интеграла, дифференциала, производной.

Простейшие операции

Такие знаки, как «плюс» и «минус», а также символы, обозначающие умножение и деление, знает каждый школьник, несмотря на то, что для последних двух упомянутых операций существует несколько возможных графических знаков.

Можно с уверенностью говорить, что складывать и вычитать люди умели ещё за много тысячелетий до нашей эры, а вот стандартизованные математические знаки и символы, обозначающие данные действия и известные нам сегодня, появились лишь к XIV-XV столетию.

Впрочем, несмотря на установление определенной договоренности в научном сообществе, умножение и в наше время может изображаться тремя различными знаками (диагональный крестик, точка, звёздочка), а деление - двумя (горизонтальная черта с точками сверху и снизу или наклонная черта).

Латинские буквы

На протяжении многих столетий научное сообщество использовало для обмена информацией исключительно латынь, и многие математические термины и знаки обнаруживают свои истоки именно в этом языке. В некоторых случаях графические элементы стали результатом сокращения слов, реже - их намеренного или случайного преобразования (например, вследствие описки).

Обозначение процента («%»), вероятнее всего, происходит от ошибочного написания сокращения cto (cento, т. е. «сотая доля»). Сходным образом произошёл знак «плюс», история которого описана выше.

Гораздо большее было образовано путём намеренного сокращения слова, хотя это не всегда очевидно. Далеко не каждый человек узнает в знаке квадратного корня букву R , т. е. первый знак в слове Radix («корень»). Символ интеграла также представляет собой первую букву слова Summa, однако интуитивно она похожа на прописную f без горизонтальной черты. К слову, в первой публикации издатели совершили именно такую ошибку, напечатав f вместо данного символа.

Греческие буквы

В качестве графических обозначений для различных понятий используются не только латинские, но и В таблице математических символов можно найти целый ряд примеров такого наименования.

Число Пи, представляющее собой отношение длины окружности к её диаметру, произошло от первой буквы греческого слова, обозначающего окружность. Существует ещё несколько менее известных иррациональных чисел, обозначаемых буквами греческого алфавита.

Крайне распространенным знаком в математике является «дельта», отражающая величину изменения значения переменных. Ещё одним употребительным знаком является «сигма», выполняющая функцию знака суммы.

Более того, практически все греческие буквы так или иначе используются в математике. Однако данные математические знаки и символы и их значение знают только люди, занимающиеся наукой профессионально. В быту и повседневной жизни эти знания человеку не требуются.

Знаки логики

Как ни странно, многие интуитивно понятные символы были придуманы совсем недавно.

В частности, горизонтальная стрелка, заменяющая слово «следовательно», была предложена лишь в 1922 года Кванторы существования и всеобщности, т. е. знаки, читающиеся как: «существует…» и «для любого…», были введены в 1897 и 1935 году соответственно.

Символы из области теории множеств были придуманы в 1888-1889 гг. А перечеркнутый круг, который сегодня известен любому учащемуся средней школы как знак пустого множества, появился в 1939 году.

Таким образом, знаки для столь непростых понятий, как интеграл или логарифм, были придуманы на столетия раньше, чем некоторые интуитивно понятные символы, легко воспринимаемые и усваиваемые даже без предварительной подготовки.

Математические символы на английском

Ввиду того, что значительная часть понятий была описана в научных трудах на латыни, ряд названий математических знаков и символов на английском и русском языке одинаковы. Например: Plus («плюс»), Integral («интеграл»), Delta function («дельта-функция»), Perpendicular («перпендикулярный»), Parallel («параллельный»), Null («нуль»).

Часть понятий в двух языках называются различным образом: так, деление - это Division, умножение - Multiplication. В редких случаях английское название для математического знака получает некоторое распространение в русском языке: например, косая черта в последние годы нередко именуется «слешем» (англ. Slash).

Таблица символов

Самый простой и удобный способ ознакомиться с перечнем математических знаков - посмотреть специальную таблицу, в которой содержатся знаки операций, символы математической логики, теории множеств, геометрии, комбинаторики, математического анализа, линейной алгебры. В данной таблице представлены основные математические знаки на английском языке.

Математические знаки в текстовом редакторе

При выполнении различного рода работ зачастую требуется использовать формулы, где употребляются знаки, отсутствующие на клавиатуре компьютера.

Как и графические элементы из практически любой области знаний, математические знаки и символы в «Ворде» можно найти во вкладке «Вставка». В версиях программы 2003 или 2007 года существует опция «Вставка символа»: при нажатии на кнопку в правой части панели пользователь увидит таблицу, в которой представлены все необходимые математические знаки, греческие строчные и прописные буквы, различные виды скобок и многое другое.

В версиях программы, вышедших после 2010 года, разработана более удобная опция. При нажатии на кнопку «Формула» происходит переход в конструктор формул, где предусмотрено использование дробей, занесения данных под корень, смена регистра (для обозначения степеней или порядковых номеров переменных). Здесь же могут быть найдены все знаки из таблицы, представленной выше.

Стоит ли учить математические символы

Система математических обозначений представляет собой искусственный язык, который лишь упрощает процесс записи, но не может принести понимание предмета стороннему наблюдателю. Таким образом, запоминание знаков без изучения терминов, правил, логических связей между понятиями не приведет к овладению данной областью знаний.

Человеческий мозг легко усваивает знаки, буквы и сокращения - математические обозначения запоминаются сами при изучении предмета. Понимание смысла каждого конкретного действия создает настолько прочные что знаки, обозначающие термины, а зачастую и формулы, связанные с ними, остаются в памяти на многие годы и даже десятилетия.

В заключение

Поскольку любой язык, в том числе искусственный, является открытым к изменениям и дополнениям, число математических знаков и символов непременно будет расти с течением времени. Не исключено, что какие-то элементы будут заменены или скорректированы, а другие - стандартизованы в единственно возможном виде, что актуально, например, для знаков умножения или деления.

Умение пользоваться математическими символами на уровне полного школьного курса является в современном мире практически необходимым. В условиях бурного развития информационных технологий и науки, повсеместной алгоритмизации и автоматизации владение математическим аппаратом следует воспринимать как данность, а освоение математических символов - как неотъемлемую его часть.

Поскольку расчеты используются и в гуманитарной сфере, и в экономике, и в естественных науках, и, разумеется, в области техники и высоких технологий, понимание математических понятий и знание символов станет полезным для любого специалиста.

Как известно, математика любит точность и краткость - недаром одна-единственная формула может в словесной форме занимать абзац, а порой и целую страницу текста. Таким образом, графические элементы, используемые во всем мире в науке, призваны увеличить скорость написания и компактность представления данных. Кроме того, стандартизованные графические изображения может распознать носитель любого языка, имеющий базовые знания в соответствующей сфере.

История математических знаков и символов насчитывает много столетий - некоторые из них были придуманы случайным образом и предназначались для обозначения иных явлений; другие же стали продуктом деятельности ученых, целенаправленно формирующих искусственный язык и руководствующихся исключительно практическими соображениями.

Плюс и минус

История происхождения символов, обозначающих простейшие арифметические операции, доподлинно неизвестна. Однако существует достаточно вероятная гипотеза происхождения знака «плюс», имеющего вид перекрещенных горизонтальной и вертикальной черт. В соответствии с ней символ сложения берет начало в латинском союзе et, который переводится на русский язык как «и». Постепенно, с целью ускорения процесса записи, слово было сокращено до вертикально ориентированного креста, напоминающего букву t. Самый ранний достоверный пример подобного сокращения датируется XIV веком.

Общепринятый знак «минус» появился, по всей видимости, позже. В XIV и даже XV веке в научной литературе использовался целый ряд символов, обозначающих операцию вычитания, и лишь к XVI веку «плюс» и «минус» в их современном виде стали встречаться в математических трудах вместе.

Умножение и деление

Как ни странно, математические знаки и символы для этих двух арифметических действий не полностью стандартизованы и сегодня. Популярным обозначением умножения является предложенный математиком Отредом в XVII веке диагональный крестик, который можно увидеть, например, на калькуляторах. На уроках математики в школе ту же операцию обычно представляют в виде точки - данный способ предложил в том же веке Лейбниц. Ещё один способ представления - звёздочка, которая наиболее часто используется при компьютерном представлении различных расчётов. Использовать её предложил всё в том же XVII веке Иоганн Ран.

Для операции деления предусмотрены знак наклонной черты (предложен Отредом) и горизонтальная линия с точками сверху и снизу (символ ввел Иоганн Ран). Первый вариант обозначения является более популярным, однако второй также достаточно распространен.

Математические знаки и символы и их значения порой изменяются во времени. Однако все три способа графического представления умножения, а также оба способа для деления являются в той или иной степени состоятельными и актуальными на сегодняшний день.

Равенство, тождество, эквивалентность

Как и в случае многих других математических знаков и символов, обозначение равенства изначально было словесным. Достаточно продолжительное время общепринятым обозначением служило сокращение ae от латинского aequalis («равны»). Однако в XVI веке математик из Уэльса по имени Роберт Рекорд предложил в качестве символа две горизонтальные прямые, расположенные друг под другом. Как утверждал ученый, нельзя придумать ничего более равного между собой, чем два параллельных отрезка.

Несмотря на то что аналогичный знак использовался для обозначения параллельности прямых, новый символ равенства постепенно получил распространение. К слову, такие знаки как «больше» и «меньше», изображающие развернутые в разные стороны галочки, появились лишь в XVII-XVIII веке. Сегодня же они кажутся интуитивно понятными любому школьнику.

Несколько более сложные знаки эквивалентности (две волнистые линии) и тождества (три горизонтальные параллельные прямые) вошли в обиход лишь во второй половине XIX века.

Знак неизвестного - «Икс»

История возникновения математических знаков и символов знает и весьма интересные случаи переосмысления графики по мере развития науки. Знак обозначения неизвестного, именуемый сегодня «иксом», берет своё начало на Ближнем Востоке на заре прошлого тысячелетия.

Ещё в X веке в арабском мире, славящемся в тот исторический период своими учеными, понятие неизвестного обозначалось словом, буквально переводящимся как «нечто» и начинающимся со звука «Ш». С целью экономии материалов и времени слово в трактатах стало сокращаться до первой буквы.

Спустя многие десятилетия письменные труды арабских ученых оказались в городах Пиренейского полуострова, на территории современной Испании. Научные трактаты стали переводиться на национальный язык, но возникла трудность - в испанском отсутствует фонема «Ш». Заимствованные арабские слова, начинающиеся с неё, записывались по особому правилу и предварялись буквой X. Научным языком того времени была латынь, в которой соответствующий знак имеет название «Икс».

Таким образом, знак, на первый взгляд являющийся лишь случайно выбранным символом, имеет глубокую историю и изначально является сокращением арабского слова «нечто».

Обозначение других неизвестных

В отличие от «Икса», знакомые нам со школьной скамьи Y и Z, а также a, b, c имеют гораздо более прозаичную историю происхождения.

В XVII веке была издана книга Декарта под названием «Геометрия». В этой книге автор предлагал стандартизировать символы в уравнениях: в соответствии с его идеей, последние три буквы латинского алфавита (начиная от «Икса») стали обозначать неизвестные, а три первые - известные значения.

Тригонометрические термины

По-настоящему необычна история такого слова, как «синус».

Первоначально соответствующие тригонометрические функции получили название в Индии. Слово, соответствующее понятию синуса, буквально означало «тетива». В эпоху расцвета арабской науки индийские трактаты были переведены, а понятие, аналога которому не оказалось в арабском языке, транскрибировано. По стечению обстоятельств, то, что получилось на письме, напоминало реально существующее слово «впадина», семантика которого не имела никакого отношения к исходному термину. В результате, когда в 12 веке арабские тексты были переведены на латынь, возникло слово «синус», означающее «впадина» и закрепившееся в качестве нового математического понятия.

А вот математические знаки и символы для тангенса и котангенса до сих пор не стандартизованы - в одних странах их принято писать как tg, а в других - как tan.

Некоторые другие знаки

Как видно из примеров, описанных выше, возникновение математических знаков и символов в значительной мере пришлось на XVI-XVII века. На этот же период пришлось возникновение привычных сегодня форм записи таких понятий, как процент, квадратный корень, степень.

Процент, т. е. сотая доля, долгое время обозначался как cto (сокращение от лат. cento). Считается, что общепринятый на сегодняшний день знак появился в результате опечатки около четырехсот лет назад. Получившееся изображение было воспринято как удачный способ сокращения и прижилось.

Знак корня изначально представлял собой стилизованную букву R (сокращение от латинского слова radix - «корень»). Верхняя черта, под которую сегодня записывается выражение, выполняла функцию скобок и являлась отдельным символом, обособленным от корня. Круглые скобки были придуманы позже - в повсеместное обращение они вошли благодаря деятельности Лейбница (1646-1716). Благодаря его же трудам был введен в науку и символ интеграла, выглядящий как вытянутая буква S - сокращение от слова «сумма».

Наконец, знак операции возведения в степень был придуман Декартом и доработан Ньютоном во второй половине XVII века.

Более поздние обозначения

Учитывая, что знакомые нам графические изображения «плюса» и «минуса» были введены в обращение всего несколько столетий назад, не кажется удивительным, что математические знаки и символы, обозначающие сложные явления, стали использоваться лишь в позапрошлом веке.

Так, факториал, имеющий вид восклицательного знака после числа или переменной, появился лишь в начале XIX века. Приблизительно тогда же появились заглавная «П» для обозначения произведения и символ предела.

Несколько странно, что знаки для числа Пи и алгебраической суммы появились лишь в XVIII веке - позже, чем, например, символ интеграла, хотя интуитивно кажется, что они являются более употребительными. Графическое изображение отношения длины окружности к диаметру происходит от первой буквы греческих слов, означающих «окружность» и «периметр». А знак «сигма» для алгебраической суммы был предложен Эйлером в последней четверти XVIII столетия.

Названия символов на разных языках

Как известно, языком науки в Европе на протяжении многих веков была латынь. Физические, медицинские и многие другие термины часто заимствовались в виде транскрипций, значительно реже - в виде кальки. Таким образом, многие математические знаки и символы на английском называются почти так же, как на русском, французском или немецком. Чем сложнее суть явления, тем выше вероятность, что в разных языках оно будет иметь одинаковое название.

Компьютерная запись математических знаков

Простейшие математические знаки и символы в "Ворде" обозначаются обычной комбинацией клавиш Shift+цифра от 0 до 9 в русской или английской раскладке. Отдельные клавиши отведены под некоторые широкоупотребительные знаки: плюс, минус, равенство, наклонная черта.

Если же требуется использовать графические изображения интеграла, алгебраической суммы или произведения, числа Пи и т. д., требуется открыть в «Ворде» вкладку «Вставка» и найти одну из двух кнопок: «Формула» или «Символ». В первом случае откроется конструктор, позволяющий выстроить целую формулу в рамках одного поля, а во втором - таблица символов, где можно найти любые математические знаки.

Как запомнить математические символы

В отличие от химии и физики, где количество символов для запоминания может превосходить сотню единиц, математика оперирует относительно небольшим числом знаков. Простейшие из них мы усваиваем ещё в глубоком детстве, учась складывать и вычитать, и только в университете на определенных специальностях знакомимся с немногочисленными сложными математическими знаками и символами. Картинки для детей помогают за считанные недели достичь мгновенного узнавания графического изображения требуемой операции, гораздо больше времени может понадобиться для овладения навыком самого осуществления этих операций и понимания их сущности.

Таким образом, процесс запоминания знаков происходит автоматически и не требует особых усилий.

В заключение

Ценность математических знаков и символов заключается в том, что их без труда понимают люди, говорящие на разных языках и являющиеся носителями различных культур. По этой причине крайне полезно понимать и уметь воспроизводить графические изображения различных явлений и операций.

Высокий уровень стандартизации этих знаков обуславливает их использование в самых различных сферах: в области финансов, информационных технологий, инженерном деле и др. Для каждого, кто хочет заниматься делом, связанным с числами и расчетами, знание математических знаков и символов и их значений становится жизненной необходимостью.

«Символы не являются только записью мыслей,
средством её изображения и закрепления, -
нет, они воздействуют на самую мысль,
они… направляют её, и бывает достаточно
переместить их на бумаге… для того, чтобы
безошибочно достигнуть новых истин».

Л.Карно

Математические знаки служат в первую очередь для точной (однозначно определённой) записи математических понятий и предложений. Их совокупность в реальных условиях их применения математиками составляет то, что называется, математическим языком.

Математические знаки позволяют записывать в компактной форме предложения, громоздко выраженные на обычном языке. Это облегчает их запоминание.

Прежде чем использовать в рассуждениях те или иные знаки, математик старается сказать, что каждый из них обозначает. Иначе его могут не понять.
Но математики не всегда могут сказать сразу, что отражает тот или иной символ, введённый ими для какой-либо математической теории. Например, сотни лет математики оперировали отрицательными и комплексными числами, однако объективный смысл этих чисел и действие с ними удалось раскрыть лишь в конце XVIII и в начале XIX века.

1. Символизм математических кванторов

Подобно обычному языку, язык математических знаков позволяет обмениваться установленными математическими истинами, но являясь лишь вспомогательным средством, присоединяемым к обычному языку и без него существовать, не может.

Математическое определение:

На обычном языке:

Пределом функции F (x) в некоторой точке X0 называется постоянное число А, такое что для произвольного числа Е>0 существует такое положительное d(E), что из условия |X - X 0 |

Запись в кванторах (на математическом языке)

2. Символизм математических знаков и геометрических фигур.

1) Бесконечность — концепция, используемая в математике, философии и естественных науках. Бесконечность какого-то понятия или атрибута некоторого объекта означает невозможность указать для него границы или количественную меру. Термин бесконечность соответствует нескольким различным понятиям, в зависимости от области применения, будь то математика, физика, философия, теология или повседневная жизнь. В математике не существует одного понятия бесконечности, она наделяется особыми свойствами в каждом разделе. Более того, эти различные «бесконечности» не взаимозаменяемы. К примеру, теория множеств подразумевает разные бесконечности, причём одна может быть больше другой. Скажем, количество целых чисел бесконечно большое (оно называется счётным). Чтобы обобщить понятие количества элементов для бесконечных множеств, в математике вводится понятие мощности множества. При этом не существует одной «бесконечной» мощности. Например, мощность множества действительных чисел больше мощности целых чисел, потому что между этими множествами нельзя построить взаимно-однозначное соответствие, а целые числа включены в действительные. Таким образом, в этом случае одно кардинальное число (равно мощности множества) «бесконечнее» другого. Основоположником этих понятий был немецкий математик Георг Кантор. В математическом анализе ко множеству действительных чисел добавляются два символа, плюс и минус бесконечность, применяющиеся для определения граничных значений и сходимости. Нужно отметить, что в этом случае речь об «осязаемой» бесконечности не идёт, так как любое утверждение, содержащее этот символ, можно записать, используя только конечные числа и кванторы. Эти символы (как и многие другие) были введены для сокращения записи более длинных выражений. Бесконечность также неразрывно связана с обозначением бесконечно малого, к примеру, ещё Аристотель сказал:
«… всегда возможно придумать большее число, потому что количество частей, на которые можно разделить отрезок, не имеет предела; поэтому бесконечность потенциальна, никогда не действительна, и какое бы число делений не задали, всегда потенциально можно поделить этот отрезок на еще большее число». Заметим, что Аристотель внес большой вклад в осознание бесконечности, разделив её на потенциальную и актуальную, и вплотную подошел с этой стороны к основам математического анализа, также указав на пять источников представления о ней:

• время,
• разделение величин,
• неиссякаемость творящей природы,
• само понятие границы, толкающее за её пределы,
• мышление, которое неостановимо.

Бесконечность в большинстве культур появилась как абстрактное количественное обозначение чего-то непостижимо большого, в применении к сущностям без пространственных или временных границ.
Далее бесконечность получила развитие в философии и теологии наравне с точными науками. К примеру, в теологии бесконечность Бога не столько даёт количественное определение, сколько означает неограниченность и непостижимость. В философии это атрибут пространства и времени.
Современная физика вплотную подходит к отрицаемой Аристотелем актуальности бесконечности — то есть доступности в реальном мире, а не только в абстрактном. Например, есть понятие сингулярности, тесно связанное с чёрными дырами и теорией большого взрыва: это точка в пространстве—времени, в которой масса в бесконечно малом объёме сосредоточена с бесконечной плотностью. Уже есть солидные косвенные доказательства существования чёрных дыр, хотя теория большого взрыва находится ещё в стадии разработки.

2) Круг — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку. Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
Круг - символ Солнца, Луны. Один из самых распространённых символов. А также является символом бесконечности, вечности, совершенства.

3) Квадрат (ромб) - является символом комбинации и упорядочивания четырёх различных элементов, например четыре основных стихий или четырёх времён года. Символ числа 4, равенства, простоты, прямоты, истины, справедливости, мудрости, чести. Симметрия является той идеей посредством которой человек пытается постичь гармонию и с давних времён считалась символом прекрасного. Симметрией обладают так называемые “фигурные” стихи, текст которых имеет очертание ромба.
Стихотворение - ромб.

Мы -
Среди тьмы.
Глаз отдыхает.
Сумрак ночи живой.
Сердце жадно вздыхает,
Шепот звёзд долетает порой.
И лазурные чувства теснятся толпой.
Всё забылось в блеске росистом.
Поцелуем душистым!
Поскорее блесни!
Снова шепни,
Как тогда:
«Да!»

(Э.Мартов, 1894г)

4) Прямоугольник. Из всех геометрических форм это наиболее рациональная, наиболее надёжная и правильная фигура; эмпирически это объясняется тем фактом, что всегда и везде прямоугольник был излюбленной формой. С помощью него человек приспосабливал пространство или какой-либо предмет для непосредственного использования в своём быту, например: дом, комната, стол, кровать и т.п.

5) Пентагон - правильный пятиугольник в виде звезды символ вечности, совершенства, вселенной. Пентагон - амулет здоровья, знак на дверях для того, чтобы отогнать ведьм, эмблема Тота, Меркурия, кельтского Гавайна и др., символ пяти ран Иисуса Христа, благополучия, удачи у евреев, легендарный ключ Соломона; знак высокого положения в обществе у Японцев.

6) Правильный шестиугольник, гексагон - символ изобилия, красоты, гармонии, свободы, брака, символ числа 6, образ человека (две руки, две ноги, голова и туловище).

7) Крест - символ высших сакральных ценностей. Крест моделирует духовный аспект, восхождение духа, устремление к богу, к вечности. Крест - универсальный символ единства жизни и смерти.
Конечно, с этими утверждениями можно и не соглашаться.
Однако никто не будет отрицать, что любое изображение вызывает у человека ассоциации. Но проблема в том, что одни предметы, сюжеты или графические элементы вызывают у всех людей (вернее, у многих) одинаковые ассоциации, а другие - совершенно различные.

8) Треугольник - это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти три точки.
Свойства треугольника как фигуры: прочность, неизменяемость.
Аксиома А1 стереометрии гласит: «Через 3 точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна!»
Чтобы проверить глубину понимания этого утверждения обычно задают задачу на засыпку: «На столе сидят три мухи, на трёх концах стола. В определённый момент они разлетаются по трём взаимно - перпендикулярным направлениям с одинаковой скоростью. Когда они снова окажутся в одной плоскости?». Ответом служит тот факт, что три точки всегда, в любой момент, определяют единственную плоскость. И именно 3 точки определяют треугольник, поэтому эта фигура в геометрии считается самой устойчивой и прочной.
Треугольник обычно относят к острой, «наступательной» фигуре, связанной с мужским началом. Равносторонний треугольник - мужской и солнечный знак, представляющий божество, огонь, жизнь, сердце, гору и восхождение, благополучие, гармонию и королевскую власть. Перевёрнутый треугольник - женский и лунный символ, олицетворяет воду, плодовитость, дождь, божественную милость.

9) Шестиконечная Звезда (Звезда Давида) - состоит из двух наложенных один на другой равносторонних треугольников. Одна из версий происхождения знака связывает его форму с формой цветка Белой лилии, имеющего шесть лепестков. Цветок традиционно располагался под храмовым светильником, таким образом, что священник зажигал огонь, как бы, в центре Маген Давида. В каббале два треугольника символизируют свойственную человеку дуальность: добро против зла, духовное против физического и так далее. Треугольник, направленный остриём вверх, символизирует наши добрые дела, которые поднимаются на небеса и вызывают поток благодати, нисходящий обратно в этот мир (что символизирует треугольник, направленный вниз). Иногда Звезду Давида называют Звездой Творца и связывают каждый из её шести концов с одним из дней недели, а центр - с субботой.
Государственные символы США также содержат Шестиконечную Звезду в разных видах, в частности есть она на Большой печати США и на денежных знаках. Звезда Давида изображена на гербах немецких городов Шер и Гербштедт, а так же украинских Тернополя и Конотопа. Три шестиконечные звезды изображены на флаге Бурунди и олицетворяют национальный девиз: «Единство. Работа. Прогресс».
В христианстве шестиконечная звезда - символ Христа, а именно соединения во Христе божественной и человеческой природы. Именно поэтому этот знак вписан в Православный Крест.

10) Пятиконечная Звезда - Основной отличительной эмблемой большевиков является красная пятиконечная звезда, официально установленная весной 1918 года. Первоначально большевистская пропаганда назвала её “ Марсовой звездой” (якобы принадлежащей античному богу войны - марсу), а затем стала заявлять, что “ Пять лучей звезды, означает союз трудящихся всех пяти континентов в борьбе против капитализма”. В действительности же пятиконечная звезда не имеет никакого отношения ни к воинствующему божеству Марсу, ни к международному пролетариату, это - древний оккультный знак (очевидно ближневосточного происхождения), называющийся “пентаграммой” или “Звездой Соломона”.
Правительству”, находящемуся под полным контролем масонства.
Весьма часто сатанисты рисуют пентаграмму двумя концами вверх, чтобы туда было легко вписать дьявольскую голову “Пентаграмма Бафомета”. Портрет “Пламенного революционера” помещён внутри “Пентаграммы Бафомета”, являющейся центральной частью композиции проектируемого в 1932 году особого чекистского ордена “ Феликса Дзержинского” (далее проект был отклонён Сталиным, глубоко ненавидящим “Железного Феликса”).

Отметим, что зачастую пентаграмма размещалась большевиками на красноармейском обмундировании, в военной технике, различных знаках и всевозможных атрибутах наглядной агитации чисто по-сатанински: двумя “рогами” вверх.
Марксистские планы “всемирной пролетарской революции” имели явно масонское происхождение, ряд виднейших марксистов состоял в масонстве. К ним относился Л.Троцкий, именно он и предложил сделать масонскую пентаграмму опознавательной эмблемой большевизма.
Интернациональные масонские ложи тайно оказывали большевикам всестороннюю поддержку, особенно финансовую.

3. Масонские знаки

Масоны

Девиз: «Свобода. Равенство. Братство».

Общественное движение свободных людей, которые на основе свободного выбора позволяют стать лучше, стать ближе к богу следственно, они признаны улучшить мир.
Масоны - соратники Творца, сподвижники общественного прогресса, против инерции, косности и невежества. Выдающиеся представители масонства - Карамзин Николай Михайлович, Суворов Александр Васильевич, Кутузов Михаил Илларионович, Пушкин Александр Сергеевич, Геббельс Иозеф.

Знаки

Лучезарное око (дельта) - знак древний, религиозный. Он говорит о том, что Бог надзирает над творениями своими. Изображением этого знака масоны спрашивали у Бога благословения на какие-либо грандиозные действия, на труды свои. Лучезарное око расположено на фронтоне Казанского Собора в Санкт-Петербурге.

Сочетание циркуля и угольника в масонском знаке.

Для непосвящённого - это орудие труда (каменщика), а для посвящённых - это способы познания мира и соотношения божественной премудрости и человеческого разума.
Угольник, как правило, снизу - это человеческое познание мира. С точки зрения масонства, человек приходит в мир, что познать божественный замысел. А для познания необходим инструментарий. Самая эффективная наука в познание мира - математика.
Угольник - древнейший математический инструмент, известный с незапамятных времён. Градуировка угольника - уже большой шаг вперёд в математическом инструментарии познания. Человек познаёт мир с помощью наук математика из них первейшая, но не единственная.
Однако угольник деревянный, и он вмещает то, что может вместить. Его нельзя раздвинуть. Если ты попытаешься его раздвинуть, чтобы он вмещал больше, - ты поломаешь его.
Так люди, пытающиеся познать всю бесконечность божественного замысла, либо умирают, либо сходят с ума. «Знай, свои границы!» - вот, что сообщает Миру этот знак. Будь ты даже Эйнштейн, Ньютон, Сахаров - величайшие умы человечества! - понимай, что ты ограничен временем, в котором ты рождён; в познании мира, языком, объёмом мозга, самыми разными человеческими ограничениями, жизнью твоего тела. Поэтому - да, познавай, но понимай, что ты никогда до конца не познаешь!
А циркуль? Циркуль есть божественная премудрость. Циркулем можно описать круг, а если раздвинуть ему ножки, то будет прямая. А в символических системах круг и прямая - две противоположности. Прямая обозначает человека, его начало и конец (как тире между двумя датами - рождения и смерти). Круг - символ божества, поскольку является совершенной фигурой. Они друг другу противостоят - божественная и человеческая фигуры. Человек не совершенен. Бог - совершенен во всём.

Для божественной премудрости нет невозможного, она может принять и вид человеческий (-) и вид божественный (0), всё может в себя вместить. Таким образом, человеческий разум постигает божественную премудрость, объемлет ее. В философии это утверждение является постулатом об абсолютной и относительной истине.
Люди всегда познают истину, но всегда относительную истину. А абсолютная истина ведома только Богу.
Познавай всё больше, осознавая, что не сможешь познать истину до конца - какие глубины мы находим в обыкновенном циркуле с угольником! Кто бы мог подумать!
Вот в чём прелесть и очарование масонской символики, в её огромной интеллектуальной глубине.
Начиная с эпохи Средневековья циркуль, как инструмент для вычерчивания безупречных кругов стал символом геометрии, космического порядка и планомерных действий. В это время часто рисовали Бога Саваофа в образе творца и архитектора Вселенной с циркулем в руках (Уильям Блейк ‘‘Великий Архитектор’’, 1794 г).

Шестиугольная Звезда (Вифлеема)

Буква G - обозначение бога (нем. - Got), великого геометра Вселенной.
Шестиугольная Звезда, означала Единство и Борьбу Противоположностей, борьбу Мужчины и Женщины, Добра и Зла, Света и Тьмы. Не может одно существовать без другого. Напряжение, которое возникает между этими противоположностями, создаёт мир в том виде, в каком мы его знаем.
Треугольник вверх означает - «Человек стремится к Богу». Треугольник вниз - «Божество нисходит к Человеку». В их соединении и существует наш мир, который и есть соединение Человеческого и Божественного. Буква G здесь означает, что Бог живёт в нашем мире. Он реально присутствует во всём, им сотворённом.

Заключение

Математические знаки служат в первую очередь для точной записи математических понятий и предложений. Их совокупность составляет то, что называется математическим языком.
Решающей силой развития математической символики является не “свободная воля” математиков, а требования практики, математических исследований. Именно реальные математические исследования помогают выяснить, какая система знаков наилучшим образом отображает структуру количественных и качественных отношений, в силу чего могут быть эффективным орудием их дальнейшего применения в символах и эмблемах.