Определения и понятия теории дифференциальных уравнений. Конспект лекции_6 Дифференциальные уравнения первого порядка


Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x , искомую функцию y=f(x) и её производные y",y"",\ldots,y^{(n)} , т. е. уравнение вида

F(x,y,y",y"",\ldots,y^{(n)})=0.

Если искомая функция y=y(x) есть функция одной независимой переменной x , дифференциальное уравнение называется обыкновенным ; например,

\mathsf{1)}~\frac{dy}{dx}+xy=0, \quad \mathsf{2)}~y""+y"+x=\cos{x}, \quad \mathsf{3)}~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0.

Когда искомая функция y есть функция двух и более независимых переменных, например, если y=y(x,t) , то уравнение вида

F\!\left(x,t,y,\frac{\partial{y}}{\partial{x}},\frac{\partial{y}}{\partial{t}},\ldots,\frac{\partial^m{y}}{\partial{x^k}\partial{t^l}}\right)=0


называется уравнением в частных производных. Здесь k,l - неотрицательные целые числа, такие, что k+l=m ; например

\frac{\partial{y}}{\partial{t}}-\frac{\partial{y}}{\partial{x}}=0, \quad \frac{\partial{y}}{\partial{t}}=\frac{\partial^2y}{\partial{x^2}}.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение y"+xy=e^x - уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение y""+p(x)y=0 , где p(x) - известная функция, - уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение y^{(9)}-xy""=x^2 - уравнение 9-го порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a,b) называется функция y=\varphi(x) , определенная на интервале (a,b) вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции y=\varphi(x) в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по x на (a,b) . Например, функция y=\sin{x}+\cos{x} является решением уравнения y""+y=0 на интервале (-\infty,+\infty) . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь

Y"=\cos{x}-\sin{x}, \quad y""=-\sin{x}-\cos{x}.

Подставляя выражения y"" и y в дифференциальное уравнение, получим тождество

-\sin{x}-\cos{x}+\sin{x}+\cos{x}\equiv0

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Общий вид уравнения первого порядка

F(x,y,y")=0.


Если уравнение (1) удается разрешить относительно y" , то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Y"=f(x,y).

Задачей Коши называют задачу нахождения решения y=y(x) уравнения y"=f(x,y) , удовлетворяющего начальному условию y(x_0)=y_0 (другая запись y|_{x=x_0}=y_0 ).

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную
точку M_0(x_0,y_0) плоскости xOy (рис. 1).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Пусть дано дифференциальное уравнение y"=f(x,y) , где функция f(x,y) определена в некоторой области D плоскости xOy , содержащей точку (x_0,y_0) . Если функция f(x,y) удовлетворяет условиям

а) f(x,y) есть непрерывная функция двух переменных x и y в области D ;

б) f(x,y) имеет частную производную , ограниченную в области D , то найдется интервал (x_0-h,x_0+h) , на котором существует единственное решение y=\varphi(x) данного уравнения, удовлетворяющее условию y(x_0)=y_0 .

Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения y"=f(x,y) , но эти условия не являются необходимыми . Именно, может существовать единственное решение уравнения y"=f(x,y) , удовлетворяющее условию y(x_0)=y_0 , хотя в точке (x_0,y_0) не выполняются условия а) или б) или оба вместе.

Рассмотрим примеры.

1. y"=\frac{1}{y^2} . Здесь f(x,y)=\frac{1}{y^2},~\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-\frac{2}{y^3} . В точках (x_0,0) оси Ox условия а) и б) не выполняются (функция f(x,y) и её частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}} разрывны на оси Ox и неограниченны при y\to0 ), но через каждую точку оси Ox проходит единственная интегральная кривая y=\sqrt{3(x-x_0)} (рис. 2).

2. y"=xy+e^{-y} . Правая часть уравнения f(x,y)=xy+e^{-y} и ее частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=x-e^{-y} непрерывны по x и y во всех точках плоскости xOy . В силу теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение
является вся плоскость xOy .

3. y"=\frac{3}{2}\sqrt{y^2} . Правая часть уравнения f(x,y)=\frac{3}{2}\sqrt{y^2} определена и непрерывна во всех точках плоскости xOy . Частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{1}{\sqrt{y}} обращается в бесконечность при y=0 , т.е. на оси Ox , так что при y=0 нарушается условие б) теоремы существования и единственности. Следовательно, в точках оси Ox возможно нарушение единственности. Легко проверить, что функция есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравнение имеет очевидное решение y\equiv0 . Таким образом, через каждую точку оси Ox проходит по крайней мере две интегральные линии и, следовательно, действительно в точках этой оси нарушается единственность (рис. 3).

Интегральными линиями данного уравнения будут также линии, составленные из кусков кубических парабол y=\frac{(x+c)^3}{8} и отрезков оси Ox , например, ABOC_1, ABB_2C_2, A_2B_2x и др., так что через каждую точку оси Ox проходит бесконечное множество интегральных линий.

Условие Липшица

Замечание. Условие ограниченности производной \partial{f}/\partial{y} , фигурирующее в теореме существования и единственности решения задачи Коши, может быть несколько ослаблено и заменено так называемым условием Липшица .

Говорят, что функция f(x,y) , определенная в некоторой области D , удовлетворяет в D условию Липшица по y , если существует такая постоянная L (постоянная Липшица ), что для любых y_1,y_2 из D и любого x из D справедливо неравенство

|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.

Существование в области D ограниченной производной \frac{\partial{f}}{\partial{y}} достаточно для того, чтобы функция f(x,y) удовлетворяла в D условию Липшица. Напротив, из условия Липшица не вытекает условие ограниченности \frac{\partial{f}}{\partial{y}} ; последняя может даже не существовать. Например, для уравнения y"=2|y|\cos{x} функция f(x,y)=2|y|\cos{x} не дифференцируема по y в точке (x_0,0),x_0\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} , но условие Липшица в окрестности этой точки выполняется. В самом деле,

{|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos{x}-2|y_1|\cos{x}|=2|\cos{x}|\,||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.}

поскольку |\cos{x}|\leqslant1, а ||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1| . Таким образом, условие Липшица выполняется с постоянной L=2 .

Теорема. Если функция f(x,y) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y в области D , то задача Коши

\frac{dy}{dx}=f(x,y), \quad y|_{x=x_0}=y_0, \quad (x_0,y_0)\in{D}.


имеет единственное решение.

Условие Липшица является существенным для единственности решения задачи Коши. В качестве примера рассмотрим уравнение

\frac{dy}{dx}=\begin{cases}\dfrac{4x^3y}{x^4+y^4},&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0.\end{cases}

Нетрудно видеть, что функция f(x,y) непрерывна; с другой стороны,

F(x,Y)-f(x,y)=\frac{4x^3(x^4+yY)}{(x^4+y^2)(x^4+Y^2)}(Y-y).

Если y=\alpha x^2,~Y=\beta x^2, то

|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac{4}{|x|}\frac{1-\alpha\beta}{(1+\alpha^2)(1+\beta^2)}|Y-y|,


и условие Липшица не удовлетворяется ни в одной области, содержащей начало координат O(0,0) , так как множитель при |Y-y| оказывается неограниченным при x\to0 .

Данное дифференциальное уравнение допускает решение y=C^2-\sqrt{x^4+C^4}, где C - произвольная постоянная. Отсюда видно, что существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальному условию y(0)=0.

Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция

Y=\varphi(x,C),


зависящая от одной произвольной постоянной C , и такая, что

1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной C;

2) каково бы ни было начальное условие

\Bigl.{y}\Bigr|_{x=x_0}=y_0,


можно подобрать такое значение C_0 постоянной C , что решение y=\varphi(x,C_0) будет удовлетворять заданному начальному условию (4). При этом предполагается, что точка (x_0,y_0) принадлежит области, где выполняются условия существования и единственности решения.

Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения (3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной C .


Пример 1. Проверить, что функция y=x+C есть общее решение дифференциального уравнения y"=1 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y|_{x=0}=0 . Дать геометрическое истолкование результата.

Решение. Функция y=x+C удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной C . В самом деле, y"=(x+C)"=1.

Зададим произвольное начальное условие y|_{x=x_0}=y_0 . Полагая x=x_0 и y=y_0 в равенстве y=x+C , найдем, что C=y_0-x_0 . Подставив это значение C в данную функцию, будем иметь y=x+y_0-x_0 . Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию: положив x=x_0 , получим y=x_0+y_0-x_0=y_0 . Итак, функция y=x+C является общим решением данного уравнения.

В частности, полагая x_0=0 и y_0=0 , получим частное решение y=x .

Общее решение данного уравнения, т.е. функция y=x+C , определяет в плоскости xOy семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом k=1 . Через каждую точку M_0(x_0,y_0) плоскости xOy проходит единственная интегральная линия y=x+y_0-x_0 . Частное решение y=x определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую, проходящую через начало координат (рис.4).

Пример 2. Проверить, что функция y=Ce^x есть общее решение уравнения y"-y=0 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y|_{x=1}=-1. .


Решение. Имеем y=Ce^x,~y"=Ce^x . Подставляя в данное уравнение выражения y и y" , получаем Ce^x-Ce^x\equiv0 , т. е. функция y=Ce^x удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянной C .

Зададим произвольное начальное условие y|_{x=x_0}=y_0 . Подставив x_0 и y_0 вместо x и y в функцию y=Ce^x , будем иметь y_0=Ce^{x_0} , откуда C=y_0e^{-x_0} . Функция y=y_0e^{x-x_0} удовлетворяет начальному условию. Действительно, полагая x=x_0 , получим y=y_0e^{x_0-x_0}=y_0 . Функция y=Ce^x есть общее решение данного уравнения.

При x_0=1 и y_0=-1 получим частное решение y=-e^{x-1} .

С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются графики показательных функций; частное решение есть интегральная кривая, проходящая через точку M_0(1;-1) (рис.5).

Соотношение вида \Phi(x,y,C)=0 , неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной C , называется частным интегралом дифференциального уравнения.

Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию.

Так как с геометрической точки зрения координаты x и y равноправны, то наряду с уравнением \frac{dx}{dy}=f(x,y) мы будем рассматривать уравнение \frac{dx}{dy}=\frac{1}{f(x,y)} .

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Эта статья является отправной точкой в изучении теории дифференциальных уравнений. Здесь собраны основные определения и понятия, которые будут постоянно фигурировать в тексте. Для лучшего усвоения и понимания определения снабжены примерами.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным (сокращенно ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение). Если же неизвестная функция есть функция многих переменных, то дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных .

Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения .


Вот примеры ОДУ первого, второго и пятого порядков соответственно

В качестве примеров уравнений в частных производных второго порядка приведем

Далее мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида или , где Ф(x, y) = 0 неизвестная функция, заданная неявно (когда возможно, будем ее записывать в явном представлении y = f(x) ).

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения .

Решение дифференциального уравнения - это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0 (в некоторых случаях функцию y можно выразить через аргумент x явно), которая обращает дифференциальное уравнение в тождество.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.

Решение дифференциального уравнения всегда ищется на заранее заданном интервале X .

Почему мы об этом говорим отдельно? Да потому что в условиях многих задач об интервале X не упоминают. То есть, обычно условие задач формулируется так: «найдите решение обыкновенного дифференциального уравнения ». В этом случае подразумевается, что решение следует искать для всех x , при которых и искомая функция y , и исходное уравнение имеют смысл.

Решение дифференциального уравнения часто называют интегралом дифференциального уравнения .

Функции или можно назвать решением дифференциального уравнения .

Одним из решений дифференциального уравнения является функция . Действительно, подставив эту функцию в исходное уравнение, получим тождество . Несложно заметить, что другим решением этого ОДУ является, например, . Таким образом, дифференциальные уравнения могут иметь множество решений.


Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения еще называют общим интегралом дифференциального уравнения .

Вернемся к примеру. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид или , где C – произвольная постоянная. Выше мы указали два решения этого ОДУ, которые получаются из общего интеграла дифференциального уравнения при подстановке С = 0 и C = 1 соответственно.

Если решение дифференциального уравнения удовлетворяет изначально заданным дополнительным условиям, то его называют частным решением дифференциального уравнения .

Частным решением дифференциального уравнения , удовлетворяющим условию y(1)=1 , является . Действительно, и .

Основными задачами теории дифференциальных уравнений являются задачи Коши, краевые задачи и задачи нахождения общего решения дифференциального уравнения на каком-либо заданном интервале X .

Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям , где - числа.

Краевая задача – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющего дополнительным условиям в граничных точках x 0 и x 1 :
f (x 0) = f 0 , f (x 1) = f 1 , где f 0 и f 1 - заданные числа.

Краевую задачу часто называют граничной задачей .

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-ого порядка называется линейным , если оно имеет вид , а коэффициенты есть непрерывные функции аргумента x на интервале интегрирования.

Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные, называются дифференциальными .

Общий вид дифференциальных уравнений: F (x , y , y ’, y ’’.. y ’’’) = 0

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием .

Дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F (x, y, y ")=0, где F - известная функция трех переменных, x - независимая переменная, y (x ) - искомая функция, y "(x ) - ее производная. Если уравнение F (x, y, y ")=0 можно разрешить относительно y ", то его записывают в виде y "=f (x, y )

Уравнение y "=f (x, y ) устанавливает связь между координатами точки (x, y) и угловым коэффициентом y " касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме :

P (x ; y ) dx + Q (x ; y ) dy =0,

Где P (x ; y ) и Q (x ; y ) – известные функции. Уравнение P (x ; y ) dx + Q (x ; y ) dy =0 удобно тем, что переменные в нем равноправны, т.е. любую из них можно рассматривать как функцию другой.

Если дифференциальное уравнение первого порядка y "=f (x, y ), имеет решение, то решений у него, вообще говоря, бесконечно много и эти решения могут быть записаны в виде y=φ (x,C ), где C - произвольная константа.

Функция y=φ (x,C ) называется общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Она содержит одну произвольную постоянную и удовлетворяет условиям:

    Функция y=φ (x,C ) является решением ДУ при каждом фиксированном значении С .

    Каково бы ни было начальное условие y (x 0 )= y 0 , можно найти такое значение постоянной С=С 0 , что функция y=φ (x,C 0 ) удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция y=φ (x,C 0 ), полученная из общего решения y=φ (x,C ) при конкретном значении постоянной С=С 0 .

Задача отыскания решения ДУ первого порядка P (x ; y ) dx + Q (x ; y ) dy =0 , удовлетворяющего заданному начальному условию y (x 0 )= y 0 , называется задачей Коши .

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши).

Если в уравнении y "=f (x, y ) функция f (x, y ) и ее частная производная f " y (x, y ) непрерывны в некоторой области D , содержащей точку (x 0 ; y 0 ), то существует единственное решение y=φ (x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию y (x 0 )= y 0 . (без доказательства)

Уравнения с разделяющимися переменными

Наиболее простым ДУ первого порядка является уравнение вида

P (x ) dx + Q (y ) dy =0.

В нем одно слагаемое зависит только от x , а другое - от y . Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными . Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

P (x ) dx + Q (y ) dy =с – его общий интеграл.

Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид:

P 1 (x) . Q 1 (y) . dx+ P 2 (x) . Q 2 (y) . dy=0.

Особенность этого уравнения в том, что коэффициенты представляют собой произведения двух функций, одна из которых зависит только от х другая – только от у.

Уравнение P 1 (x ) . Q 1 (y ) . dx + P 2 (x ) . Q 2 (y ) . dy =0 легко сводится к уравнению P (x ) dx + Q (y ) dy =0. путем почленного деления его на Q 1 (y ) . P 2 (x )≠0. Получаем.

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x , искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

Примеры.

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y" в уравнение, получим – тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y" - 5y" +6y = 0 . Функция – решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.

А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой .

Примеры

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0 , если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .

- общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y" = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x 0) = y 0 , называется задачей Коши.

Решение уравнения y" = f(x,y) , удовлетворяющее начальному условию, y(x 0) = y 0 , называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y" = f(x,y) при условии y(x 0) = y 0 , означает найти интегральную кривую уравнения y" = f(x,y) которая проходит через заданную точку M 0 (x 0 ,y 0 ).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y") = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y" = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является функция .

Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим откуда C = 0 .

Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y"=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y) – заданные функции.

Для тех y , для которых , уравнение y"=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y"=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x , получим G(y) = F(x) + C – общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x) , C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Пример 1

Решить уравнение y" = xy

Решение. Производную функции y" заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Пример 2

2yy" = 1- 3x 2 , если y 0 = 3 при x 0 = 1

Это-уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x 0 = 1, y 0 = 3 найдем С 9=1-1+C , т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или

Пример 3

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим:

Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Используя начальные условия, x = 2 и y = - 3 найдем C :

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y" = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) - некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y" = f(x)y

Если то уравнение y" = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y" = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y" = ky где k - некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y" = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида y" = kx + b ,

где k и b - некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .

Пример . Решить уравнение y" + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y" = -2y - 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно, где С – произвольная постоянная.

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y" = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv , где u и v - неизвестные функции от x . Этот метод решения называется методом Бернулли.

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

y" = f(x)y + g(x)

1. Ввести подстановку y=uv .

2. Продифференцировать это равенство y" = u"v + uv"

3. Подставить y и y" в данное уравнение: u"v + uv" = f(x)uv + g(x) или u"v + uv" + f(x)uv = g(x) .

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Пример 1

Найти частное решение уравнения y" = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y" = u"v + uv"

Подставляя y и y" в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v :

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0 :

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y",y") = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C 1 и C 2 .

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C 1 и C 2 .

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y" + py" +qy = 0 , где p и q - постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y" + py" +qy = 0 .

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y" через r 2 , y" через r , y через 1:r 2 + pr +q = 0


Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x , искомую функцию y=f(x) и её производные y",y"",\ldots,y^{(n)} , т. е. уравнение вида


F(x,y,y",y"",\ldots,y^{(n)})=0.


Если искомая функция y=y(x) есть функция одной независимой переменной x , дифференциальное уравнение называется обыкновенным ; например,


\mathsf{1)}~\frac{dy}{dx}+xy=0, \quad \mathsf{2)}~y""+y"+x=\cos{x}, \quad \mathsf{3)}~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0.


Когда искомая функция y есть функция двух и более независимых переменных, например, если y=y(x,t) , то уравнение вида


F\!\left(x,t,y,\frac{\partial{y}}{\partial{x}},\frac{\partial{y}}{\partial{t}},\ldots,\frac{\partial^m{y}}{\partial{x^k}\partial{t^l}}\right)=0


называется уравнением в частных производных. Здесь k,l - неотрицательные целые числа, такие, что k+l=m ; например

\frac{\partial{y}}{\partial{t}}-\frac{\partial{y}}{\partial{x}}=0, \quad \frac{\partial{y}}{\partial{t}}=\frac{\partial^2y}{\partial{x^2}}.


Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение y"+xy=e^x - уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение y""+p(x)y=0 , где p(x) - известная функция, - уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение y^{(9)}-xy""=x^2 - уравнение 9-го порядка.


Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a,b) называется функция y=\varphi(x) , определенная на интервале (a,b) вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции y=\varphi(x) в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по x на (a,b) . Например, функция y=\sin{x}+\cos{x} является решением уравнения y""+y=0 на интервале (-\infty,+\infty) . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь


y"=\cos{x}-\sin{x}, \quad y""=-\sin{x}-\cos{x}.


Подставляя выражения y"" и y в дифференциальное уравнение, получим тождество


-\sin{x}-\cos{x}+\sin{x}+\cos{x}\equiv0


График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.


Общий вид уравнения первого порядка


F(x,y,y")=0.


Если уравнение (1) удается разрешить относительно y" , то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.


y"=f(x,y).


Задачей Коши называют задачу нахождения решения y=y(x) уравнения y"=f(x,y) , удовлетворяющего начальному условию y(x_0)=y_0 (другая запись y|_{x=x_0}=y_0 ).


Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную
точку M_0(x_0,y_0) плоскости xOy (рис. 1).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Пусть дано дифференциальное уравнение y"=f(x,y) , где функция f(x,y) определена в некоторой области D плоскости xOy , содержащей точку (x_0,y_0) . Если функция f(x,y) удовлетворяет условиям


а) f(x,y) есть непрерывная функция двух переменных x и y в области D ;


б) f(x,y) имеет частную производную , ограниченную в области D , то найдется интервал (x_0-h,x_0+h) , на котором существует единственное решение y=\varphi(x) данного уравнения, удовлетворяющее условию y(x_0)=y_0 .


Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения y"=f(x,y) , но эти условия не являются необходимыми . Именно, может существовать единственное решение уравнения y"=f(x,y) , удовлетворяющее условию y(x_0)=y_0 , хотя в точке (x_0,y_0) не выполняются условия а) или б) или оба вместе.


Рассмотрим примеры.


1. y"=\frac{1}{y^2} . Здесь f(x,y)=\frac{1}{y^2},~\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-\frac{2}{y^3} . В точках (x_0,0) оси Ox условия а) и б) не выполняются (функция f(x,y) и её частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}} разрывны на оси Ox и неограниченны при y\to0 ), но через каждую точку оси Ox проходит единственная интегральная кривая y=\sqrt{3(x-x_0)} (рис. 2).


2. y"=xy+e^{-y} . Правая часть уравнения f(x,y)=xy+e^{-y} и ее частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=x-e^{-y} непрерывны по x и y во всех точках плоскости xOy . В силу теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение
является вся плоскость xOy .



3. y"=\frac{3}{2}\sqrt{y^2} . Правая часть уравнения f(x,y)=\frac{3}{2}\sqrt{y^2} определена и непрерывна во всех точках плоскости xOy . Частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{1}{\sqrt{y}} обращается в бесконечность при y=0 , т.е. на оси Ox , так что при y=0 нарушается условие б) теоремы существования и единственности. Следовательно, в точках оси Ox возможно нарушение единственности. Легко проверить, что функция есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравнение имеет очевидное решение y\equiv0 . Таким образом, через каждую точку оси Ox проходит по крайней мере две интегральные линии и, следовательно, действительно в точках этой оси нарушается единственность (рис. 3).


Интегральными линиями данного уравнения будут также линии, составленные из кусков кубических парабол y=\frac{(x+c)^3}{8} и отрезков оси Ox , например, ABOC_1, ABB_2C_2, A_2B_2x и др., так что через каждую точку оси Ox проходит бесконечное множество интегральных линий.

Условие Липшица

Замечание. Условие ограниченности производной \partial{f}/\partial{y} , фигурирующее в теореме существования и единственности решения задачи Коши, может быть несколько ослаблено и заменено так называемым условием Липшица .


Говорят, что функция f(x,y) , определенная в некоторой области D , удовлетворяет в D условию Липшица по y , если существует такая постоянная L (постоянная Липшица ), что для любых y_1,y_2 из D и любого x из D справедливо неравенство


|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.


Существование в области D ограниченной производной \frac{\partial{f}}{\partial{y}} достаточно для того, чтобы функция f(x,y) удовлетворяла в D условию Липшица. Напротив, из условия Липшица не вытекает условие ограниченности \frac{\partial{f}}{\partial{y}} ; последняя может даже не существовать. Например, для уравнения y"=2|y|\cos{x} функция f(x,y)=2|y|\cos{x} не дифференцируема по y в точке (x_0,0),x_0\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} , но условие Липшица в окрестности этой точки выполняется. В самом деле,


{|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos{x}-2|y_1|\cos{x}|=2|\cos{x}|\,||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.}


поскольку |\cos{x}|\leqslant1, а ||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1| . Таким образом, условие Липшица выполняется с постоянной L=2 .

Теорема. Если функция f(x,y) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y в области D , то задача Коши


\frac{dy}{dx}=f(x,y), \quad y|_{x=x_0}=y_0, \quad (x_0,y_0)\in{D}.


имеет единственное решение.

Условие Липшица является существенным для единственности решения задачи Коши. В качестве примера рассмотрим уравнение


\frac{dy}{dx}=\begin{cases}\dfrac{4x^3y}{x^4+y^4},&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0.\end{cases}


Нетрудно видеть, что функция f(x,y) непрерывна; с другой стороны,


f(x,Y)-f(x,y)=\frac{4x^3(x^4+yY)}{(x^4+y^2)(x^4+Y^2)}(Y-y).


Если y=\alpha x^2,~Y=\beta x^2, то


|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac{4}{|x|}\frac{1-\alpha\beta}{(1+\alpha^2)(1+\beta^2)}|Y-y|,


и условие Липшица не удовлетворяется ни в одной области, содержащей начало координат O(0,0) , так как множитель при |Y-y| оказывается неограниченным при x\to0 .

Данное дифференциальное уравнение допускает решение y=C^2-\sqrt{x^4+C^4}, где C - произвольная постоянная. Отсюда видно, что существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальному условию y(0)=0.


Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция


y=\varphi(x,C),


зависящая от одной произвольной постоянной C , и такая, что

1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной C;

2) каково бы ни было начальное условие


\Bigl.{y}\Bigr|_{x=x_0}=y_0,


можно подобрать такое значение C_0 постоянной C , что решение y=\varphi(x,C_0) будет удовлетворять заданному начальному условию (4). При этом предполагается, что точка (x_0,y_0) принадлежит области, где выполняются условия существования и единственности решения.

Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения (3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной C .

Пример 1. Проверить, что функция y=x+C есть общее решение дифференциального уравнения y"=1 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y|_{x=0}=0 . Дать геометрическое истолкование результата.


Решение. Функция y=x+C удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной C . В самом деле, y"=(x+C)"=1.


Зададим произвольное начальное условие y|_{x=x_0}=y_0 . Полагая x=x_0 и y=y_0 в равенстве y=x+C , найдем, что C=y_0-x_0 . Подставив это значение C в данную функцию, будем иметь y=x+y_0-x_0 . Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию: положив x=x_0 , получим y=x_0+y_0-x_0=y_0 . Итак, функция y=x+C является общим решением данного уравнения.


В частности, полагая x_0=0 и y_0=0 , получим частное решение y=x .


Общее решение данного уравнения, т.е. функция y=x+C , определяет в плоскости xOy семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом k=1 . Через каждую точку M_0(x_0,y_0) плоскости xOy проходит единственная интегральная линия y=x+y_0-x_0 . Частное решение y=x определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую, проходящую через начало координат (рис.4).

Пример 2. Проверить, что функция y=Ce^x есть общее решение уравнения y"-y=0 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y|_{x=1}=-1. .


Решение. Имеем y=Ce^x,~y"=Ce^x . Подставляя в данное уравнение выражения y и y" , получаем Ce^x-Ce^x\equiv0 , т. е. функция y=Ce^x удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянной C .


Зададим произвольное начальное условие y|_{x=x_0}=y_0 . Подставив x_0 и y_0 вместо x и y в функцию y=Ce^x , будем иметь y_0=Ce^{x_0} , откуда C=y_0e^{-x_0} . Функция y=y_0e^{x-x_0} удовлетворяет начальному условию. Действительно, полагая x=x_0 , получим y=y_0e^{x_0-x_0}=y_0 . Функция y=Ce^x есть общее решение данного уравнения.


При x_0=1 и y_0=-1 получим частное решение y=-e^{x-1} .


С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются графики показательных функций; частное решение есть интегральная кривая, проходящая через точку M_0(1;-1) (рис.5).


Соотношение вида \Phi(x,y,C)=0 , неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.


Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной C , называется частным интегралом дифференциального уравнения.


Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию.


Так как с геометрической точки зрения координаты x и y равноправны, то наряду с уравнением \frac{dx}{dy}=f(x,y) мы будем рассматривать уравнение \frac{dx}{dy}=\frac{1}{f(x,y)} .