Примеры прямых и обратных функций. Обратные функции – определение и свойства
Готовые работы
ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ
Многое уже позади и теперь ты - выпускник, если, конечно, вовремя напишешь дипломную работу. Но жизнь - такая штука, что только сейчас тебе становится понятно, что, перестав быть студентом, ты потеряешь все студенческие радости, многие из которых, ты так и не попробовал, всё откладывая и откладывая на потом. И теперь, вместо того, чтобы навёрстывать упущенное, ты корпишь над дипломной работой? Есть отличный выход: скачать нужную тебе дипломную работу с нашего сайта - и у тебя мигом появится масса свободного времени!
Дипломные работы успешно защищены в ведущих Университетах РК.
Стоимость работы от 20 000 тенге
КУРСОВЫЕ РАБОТЫ
Курсовой проект - это первая серьезная практическая работа. Именно с написания курсовой начинается подготовка к разработке дипломных проектов. Если студент научиться правильно излагать содержание темы в курсовом проекте и грамотно его оформлять, то в последующем у него не возникнет проблем ни с написанием отчетов, ни с составлением дипломных работ, ни с выполнением других практических заданий. Чтобы оказать помощь студентам в написании этого типа студенческой работы и разъяснить возникающие по ходу ее составления вопросы, собственно говоря, и был создан данный информационный раздел.
Стоимость работы от 2 500 тенге
МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ
В настоящее время в высших учебных заведениях Казахстана и стран СНГ очень распространена ступень высшего профессионального образования, которая следует после бакалавриата - магистратура. В магистратуре обучаются с целью получения диплома магистра, признаваемого в большинстве стран мира больше, чем диплом бакалавра, а также признаётся зарубежными работодателями. Итогом обучения в магистратуре является защита магистерской диссертации.
Мы предоставим Вам актуальный аналитический и текстовый материал, в стоимость включены 2 научные статьи и автореферат.
Стоимость работы от 35 000 тенге
ОТЧЕТЫ ПО ПРАКТИКЕ
После прохождения любого типа студенческой практики (учебной, производственной, преддипломной) требуется составить отчёт. Этот документ будет подтверждением практической работы студента и основой формирования оценки за практику. Обычно, чтобы составить отчёт по практике, требуется собрать и проанализировать информацию о предприятии, рассмотреть структуру и распорядок работы организации, в которой проходится практика, составить календарный план и описать свою практическую деятельность.
Мы поможет написать отчёт о прохождении практики с учетом специфики деятельности конкретного предприятия.
Определение обратной функции и ее свойства: лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций; симметрия графиков прямой и обратной функций; теоремы о существовании и непрерывности обратной функции для функции, строго монотонной на отрезке, интервале и полуинтервале. Примеры обратных функций. Пример решения задачи. Доказательства свойств и теорем.
Определение и свойства
Определение обратной функции
Пусть функция имеет область определения X
и множество значений Y
.
И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y
можно поставить в соответствие только один элемент множества X
,
для которого .
Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией
к .
Обратная функция обозначается так:
.
Из определения следует, что
;
для всех ;
для всех .
Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке .
Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция ,
которая строго возрастает (убывает).
Для возрастающей функции . Для убывающей - .
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале .
Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция ,
которая строго возрастает (убывает).
Для возрастающей функции .
Для убывающей: .
Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.
Если функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на полуинтервале или , то на полуинтервале или определена обратная функция , которая строго возрастает (убывает). Здесь .
Если строго возрастает, то интервалам и соответствуют интервалы и .
Если строго убывает, то интервалам и соответствуют интервалы и .
Эта теорема доказывается тем же способом, что и теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале.
Примеры обратных функций
Арксинус
Графики y = sin x и обратной функции y = arcsin x .
Рассмотрим тригонометрическую функцию синус : . Она определена и непрерывна для всех значений аргумента , но не является монотонной. Однако, если сузить область определения, то можно выделить монотонные участки. Так, на отрезке , функция определена, непрерывна, строго возрастает и принимает значения от -1 до +1 . Поэтому имеет на нем обратную функцию, которую называют арксинусом. Арксинус имеет область определения и множество значений .
Логарифм
Графики y = 2 x и обратной функции y = log 2 x .
Показательная функция определена, непрерывна и строго возрастает при всех значений аргумента . Множеством ее значений является открытый интервал . Обратной функцией является логарифм по основанию два. Он имеет область определения и множество значений .
Квадратный корень
Графики y = x 2 и обратной функции .
Степенная функция определена и непрерывна для всех . Множеством ее значений является полуинтервал . Но она не является монотонной при всех значений аргумента. Однако, на полуинтервале она непрерывна и строго монотонно возрастает. Поэтому если, в качестве области определения, взять множество , то существует обратная функция, которая называется квадратным корнем. Обратная функция имеет область определения и множество значений .
Пример. Доказательство существования и единственности корня степени n
Докажите, что уравнение , где n - натуральное, - действительное неотрицательное число, имеет единственное решение на множестве действительных чисел, . Это решение называется корнем степени n из числа a . То есть нужно показать, что любое неотрицательное число имеет единственный корень степени n .
Рассмотрим функцию от переменной x
:
(П1)
.
Докажем, что она непрерывна.
Используя определение непрерывности , покажем, что
.
Применяем формулу бинома Ньютона:
(П2)
.
Применим арифметические свойства пределов функции . Поскольку ,
то отлично от нуля только первое слагаемое:
.
Непрерывность доказана.
Докажем, что функция (П1) строго возрастает при .
Возьмем произвольные числа ,
связанные неравенствами:
,
,
.
Нам нужно показать, что .
Введем переменные .
Тогда .
Поскольку ,
то из (П2) видно, что .
Или
.
Строгое возрастание доказано.
Найдем множество значений функции при .
В точке ,
.
Найдем предел .
Для этого применим неравенство Бернулли . При имеем:
.
Поскольку ,
то и .
Применяя свойство неравенств бесконечно больших функций находим, что .
Таким образом, ,
.
Согласно теореме об обратной функции, на интервале определена и непрерывна обратная функция .
То есть для любого существует единственное ,
удовлетворяющее уравнению .
Поскольку у нас ,
то это означает, что для любого ,
уравнение имеет единственное решение, которое называют корнем степени n
из числа x
:
.
Доказательства свойств и теорем
Доказательство леммы о взаимной монотонности прямой и обратной функций
Пусть функция имеет область определения X
и множество значений Y
.
Докажем, что она имеет обратную функцию. Исходя из , нам нужно доказать, что
для всех .
Допустим противное. Пусть существуют числа ,
так что .
Пусть при этом .
Иначе, поменяем обозначения, чтобы было .
Тогда, в силу строгой монотонности f
,
должно выполняться одно из неравенств:
если f
строго возрастает;
если f
строго убывает.
То есть .
Возникло противоречие. Следовательно, имеет обратную функцию .
Пусть функция строго возрастает. Докажем, что и обратная функция также строго возрастает. Введем обозначения:
.
То есть нам нужно доказать, что если ,
то .
Допустим противное. Пусть , но .
Если , то . Этот случай отпадает.
Пусть .
Тогда, в силу строгого возрастания функции ,
,
или .
Возникло противоречие. Поэтому возможен только случай .
Для строго возрастающей функции лемма доказана. Аналогичным образом можно доказать эту лемму и для строго убывающей функции.
Доказательство свойства о симметрии графиков прямой и обратной функций
Пусть - произвольная точка графика прямой функции :
(2.1)
.
Покажем, что точка ,
симметричная точке A
относительно прямой ,
принадлежит графику обратной функции :
.
Из определения обратной функции следует, что
(2.2)
.
Таким образом, нам нужно показать (2.2).
График обратной функции y = f -1 (x) симметричен графику прямой функции y = f(x) относительно прямой y = x .
Из точек A
и S
опустим перпендикуляры на оси координат. Тогда
,
.
Через точку A проводим прямую, перпендикулярную прямой . Пусть прямые пересекаются в точке C . На прямой строим точку S так, чтобы . Тогда точка S будет симметрична точке A относительно прямой .
Рассмотрим треугольники и .
Они имеют две равные по длине стороны: и ,
и равные углы между ними: .
Поэтому они конгруэнтны. Тогда
.
Рассмотрим треугольник .
Поскольку ,
то
.
Тоже самое относится к треугольнику :
.
Тогда
.
Теперь находим и :
;
.
Итак, уравнение (2.2):
(2.2)
выполняется, поскольку ,
и выполняется (2.1):
(2.1)
.
Так как мы выбрали точку A
произвольно, то это относится ко всем точкам графика :
все точки графика функции ,
симметрично отраженные относительно прямой ,
принадлежат графику обратной функции .
Далее мы можем поменять и местами. В результате получим, что
все точки графика функции ,
симметрично отраженные относительно прямой ,
принадлежат графику функции .
Отсюда следует, что графики функций и симметричны относительно прямой .
Свойство доказано.
Доказательство теоремы о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть обозначает область определения функции - отрезок .
1.
Покажем, что множеством значений функции является отрезок :
,
где .
Действительно, поскольку функция непрерывна на отрезке , то по теореме Вейерштрасса она достигает на нем минимума и максимума . Тогда по теореме Больцано - Коши функция принимает все значения из отрезка . То есть для любого существует , для которого . Поскольку и есть минимум и максимум, то функция принимает на отрезке только значения из множества .
2. Поскольку функция строго монотонна, то согласно вышеприведенной , существует обратная функция , которая также строго монотонна (возрастает, если возрастает ; и убывает, если убывает ). Областью определения обратной функции является множество , а множеством значений - множество .
3. Теперь докажем, что обратная функция непрерывна.
3.1. Пусть есть произвольная внутренняя точка отрезка : . Докажем, что обратная функция непрерывна в этой точке.
Пусть ей соответствует точка .
Поскольку обратная функция строго монотонна, то есть внутренняя точка отрезка :
.
Согласно определению непрерывности нам нужно доказать, что для любого имеется такая функция ,
при которой
(3.1)
для всех .
Заметим, что мы можем взять сколь угодно малым. Действительно, если мы нашли такую функцию , при которой неравенства (3.1) выполняются при достаточно малых значениях , то они будут автоматически выполняться и при любых больших значениях , если положить при .
Возьмем настолько малым, чтобы точки и принадлежали отрезку :
.
Введем и упорядочим обозначения:
.
Преобразуем первое неравенство (3.1):
(3.1)
для всех .
;
;
;
(3.2)
.
Поскольку строго монотонна, то отсюда следует, что
(3.3.1)
,
если возрастает;
(3.3.2)
,
если убывает.
Поскольку обратная функция также строго монотонна, то из неравенств (3.3) следуют неравенства (3.2).
Для любого ε > 0 существует δ , так что |f -1 (y) - f -1 (y 0) | < ε для всех |y - y 0 | < δ .
Неравенства (3.3) определяют открытый интервал, концы которого удалены от точки на расстояния и .
Пусть есть наименьшее из этих расстояний:
.
В силу строгой монотонности ,
,
.
Поэтому и .
Тогда интервал будет лежать в интервале, определяемом неравенствами (3.3). И для всех значений ,
принадлежащих ему будут выполняться неравенства (3.2).
Итак, мы нашли, что для достаточно малого ,
существует ,
так что
при .
Теперь изменим обозначения.
Для достаточно малого ,
существует такое ,
так что
при .
Это означает, что обратная функция непрерывна во внутренних точках .
3.2. Теперь рассмотрим концы области определения. Здесь все рассуждения остаются теми же самыми. Только нужно рассматривать односторонние окрестности этих точек. Вместо точки будет или , а вместо точки - или .
Так, для возрастающей функции ,
.
при .
Обратная функция непрерывна в точке ,
поскольку для любого достаточно малого имеется ,
так что
при .
Для убывающей функции ,
.
Обратная функция непрерывна в точке ,
поскольку для любого достаточно малого имеется ,
так что
при .
Обратная функция непрерывна в точке ,
поскольку для любого достаточно малого имеется ,
так что
при .
Теорема доказана.
Доказательство теоремы о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть обозначает область определения функции - открытый интервал .
Пусть - множество ее значений. Согласно приведенной выше , существует обратная функция ,
которая имеет область определения ,
множество значений и является строго монотонной (возрастает если возрастает и убывает если убывает ). Нам осталось доказать, что
1)
множеством является открытый интервал ,
и что
2)
обратная функция непрерывна на нем.
Здесь .
1.
Покажем, что множеством значений функции является открытый интервал :
.
Как и всякое непустое множество, элементы которого имеют операцию сравнения, множество значений функции имеет нижнюю и верхнюю грани:
.
Здесь и могут быть конечными числами или символами и .
1.1. Покажем, что точки и не принадлежат множеству значений функции. То есть множество значений не может быть отрезком .
Если или является бесконечно удаленной точкой : или , то такая точка не является элементом множества. Поэтому она не может принадлежать множеству значений.
Пусть (или ) является конечным числом. Допустим противное. Пусть точка (или ) принадлежит множеству значений функции .
То есть существует такое ,
для которого (или ). Возьмем точки и ,
удовлетворяющие неравенствам:
.
Поскольку функция строго монотонна, то
,
если f
возрастает;
,
если f
убывает.
То есть мы нашли точку, значение функции в которой меньше (больше
). Но это противоречит определению нижней (верхней) грани, согласно которому
для всех
.
Поэтому точки
и
не могут принадлежать множеству значений
функции
.
1.2. Теперь покажем, что множество значений является интервалом , а не объединением интервалов и точек. То есть для любой точки существует , для которого .
Согласно определениям нижней и верхней граней, в любой окрестности точек
и
содержится хотя бы один элемент множества
.
Пусть
- произвольное число, принадлежащее интервалу
:
.
Тогда для окрестности
существует
,
для которого
.
Для окрестности
существует
,
для которого
.
Поскольку
и
,
то
.
Тогда
(4.1.1)
если
возрастает;
(4.1.2)
если
убывает.
Неравенства (4.1) легко доказать от противного. Но можно воспользоваться , согласно которой на множестве
существует обратная функция
,
которая строго возрастает, если возрастает
и строго убывает, если убывает
.
Тогда сразу получаем неравенства (4.1).
Итак, мы имеем отрезок
,
где
если
возрастает;
если
убывает.
На концах отрезка функция принимает значения
и
.
Поскольку
,
то по теореме Больцано - Коши , существует точка
,
для которой
.
Поскольку , то тем самым мы показали, что для любого существует , для которого . Это означает, что множеством значений функции является открытый интервал .
2. Теперь покажем, что обратная функция непрерывна в произвольной точке интервала : . Для этого применим к отрезку . Поскольку , то обратная функция непрерывна на отрезке , в том числе и в точке .
Теорема доказана.
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Мы уже сталкивались с задачей, когда по заданной функции f и заданному значению её аргумента необходимо было вычислить значение функции в этой точке. Но иногда приходится сталкиваться с обратной задачей: найти по известной функции f и её некоторому значению y значение аргумента, в котором функция принимает данное значение y.
Функция, которая, принимает каждое свое значение в единственной точке своей области определения, называется обратимой функцией. Например, линейная функция будет являться обратимой функцией . А квадратичная функция или функция синус не будет являться обратимыми функциями. Так как одно и то же значение функция может принимать при различных аргументах.
Обратная функция
Положим, что f есть некоторая произвольная обратимая функция. Каждому числу из области её значений y0, соответствует лишь одно число из области определения x0, такое что f(x0) = y0.
Если теперь мы каждому значению х0 поставим в соответствие значение y0, то получим уже новую функцию. Например, для линейной функции f(x) = k * x + b функция g(x) = (x - b)/k будет являться обратной.
Если некоторая функция g в каждой точке х области значений обратимой функции f принимает значение у такое, что f(y) = x, то говорят, что функция g - есть обратная функция к f.
Если у нас будет задан график некоторой обратимой функции f, то для того чтобы построить график обратной функции, можно пользоваться следующим утверждением: график функции f и обратной к ней функции g будут симметричны относительно прямой, заданной уравнением y = x.
Если функция g является обратной к функции f, то функция g будет являться обратимой функцией. А функция f будет обратной к функции g. Обычно говорят, что две функции f и g взаимно обратные друг к другу.
На следующем рисунке представлены графики функций f и g взаимно обратных друг к другу.
Выведем следующую теорему: если функция f возрастает (или убывает) на некотором промежутке A, то она обратима. Обратная к а функция g, определенная в области значений функции f, также является возрастающей (или соответственно убывающей) функцией. Данная теорема называется теоремой об обратной функции .
Допустим, что у нас есть некая функция y = f (x) , которая является строго монотонной (убывающей или возрастающей) и непрерывной на области определения x ∈ a ; b ; область ее значений y ∈ c ; d , а на интервале c ; d при этом у нас будет определена функция x = g (y) с областью значений a ; b . Вторая функция также будет непрерывной и строго монотонной. По отношению к y = f (x) она будет обратной функцией. То есть мы можем говорить об обратной функции x = g (y) тогда, когда y = f (x) на заданном интервале будет либо убывать, либо возрастать.
Две этих функции, f и g , будут взаимно обратными.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?
Это нужно нам для решения уравнений y = f (x) , которые записываются как раз с помощью этих выражений.
Допустим, нам нужно найти решение уравнения cos (x) = 1 3 . Его решениями будут две точки: x = ± a r c o c s 1 3 + 2 π · k , k ∈ Z
Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.
Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным.
Пример 1
Условие: какая функция будет обратной для y = 3 x + 2 ?
Решение
Область определений и область значений функции, заданной в условии, – это множество всех действительных чисел. Попробуем решить данное уравнение через x , то есть выразив x через y .
Мы получим x = 1 3 y - 2 3 . Это и есть нужная нам обратная функция, но y здесь будет аргументом, а x - функцией. Переставим их, чтобы получить более привычную форму записи:
Ответ: функция y = 1 3 x - 2 3 будет обратной для y = 3 x + 2 .
Обе взаимно обратные функции можно отобразить на графике следующим образом:
Мы видим симметричность обоих графиков относительно y = x . Эта прямая является биссектрисой первого и третьего квадрантов. Получилось доказательство одного из свойств взаимно обратных функций, о котором мы поговорим далее.
Возьмем пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.
Пример 2
Условие: определите, какая функция будет обратной для y = 2 x .
Решение
Для заданной функции областью определения являются все действительные числа. Область значений лежит в интервале 0 ; + ∞ . Теперь нам нужно выразить x через y , то есть решить указанное уравнение через x . Мы получаем x = log 2 y . Переставим переменные и получим y = log 2 x .
В итоге у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.
Ответ: y = log 2 x .
На графике обе функции будут выглядеть так:
Основные свойства взаимно обратных функций
В этом пункте мы перечислим основные свойства функций y = f (x) и x = g (y) , являющихся взаимно обратными.
Определение 1
- Первое свойство мы уже вывели ранее: y = f (g (y)) и x = g (f (x)) .
- Второе свойство вытекает из первого: область определения y = f (x) будет совпадать с областью значений обратной функции x = g (y) , и наоборот.
- Графики функций, являющихся обратными, будут симметричными относительно y = x .
- Если y = f (x) является возрастающей, то и x = g (y) будет возрастать, а если y = f (x) убывает, то убывает и x = g (y) .
Советуем внимательно отнестись к понятиям области определения и области значения функций и никогда их не путать. Допустим, что у нас есть две взаимно обратные функции y = f (x) = a x и x = g (y) = log a y . Согласно первому свойству, y = f (g (y)) = a log a y . Данное равенство будет верным только в случае положительных значений y , а для отрицательных логарифм не определен, поэтому не спешите записывать, что a log a y = y . Обязательно проверьте и добавьте, что это верно только при положительном y .
А вот равенство x = f (g (x)) = log a a x = x будет верным при любых действительных значениях x .
Не забывайте про этот момент, особенно если приходится работать с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями. Так, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3 , потому что область значений арксинуса - π 2 ; π 2 и 7 π 3 в нее не входит. Верной будет запись
a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = п о ф о р м у л е п р и в и д е н и я = a r c sin sin π 3 = π 3
А вот sin a r c sin 1 3 = 1 3 – верное равенство, т.е. sin (a r c sin x) = x при x ∈ - 1 ; 1 и a r c sin (sin x) = x при x ∈ - π 2 ; π 2 . Всегда будьте внимательны с областью значений и областью определений обратных функций!
- Основные взаимно обратные функции: степенные
Если у нас есть степенная функция y = x a , то при x > 0 степенная функция x = y 1 a также будет обратной ей. Заменим буквы и получим соответственно y = x a и x = y 1 a .
На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):
- Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические
Возьмем a,которое будет положительным числом, не равным 1 .
Графики для функций с a > 1 и a < 1 будут выглядеть так:
- Основные взаимно обратные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические
Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью).